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庭の芝生が庭木のある南側があまり生えず、雑草が生えてしまいました。
どのようにしたら青々とした芝生になるでしょうか？

植物にとって土壌、日照、水分などが基本的な生育要素ですが、芝生も当然これらの要素がバランスよく管理されないとうまく育ちません。
芝生を生育させようとすれば、雑草なども一緒に育ってしまいますので、手間はかかりますが雑草を抜いたり、樹木については葉を刈んだりしながら、しっかりと水遣りをすることが大切でしょう。 また、環境により芝生の生育状態は変化しますので（根付かず、枯れたままになってしまうなど）、どうしても生育しない場合には、芝の種類を変えてみたり、枯れた部分のみ新しい芝生を植えてみてはどうでしょう。種類は10種以上ありますから、環境にあった芝生を選択すれば生育しやすくなるかもしれません。
もし、周りの木々や建物の影響で日差しが遮られる場合や、土の状態などよりどうしても芝が発育しない場合は、芝以外の植物を植えることをご検討されてみてはいかがでしょうか。
いずれの場合も、ガーデニングショップなどでお庭の環境を説明されてご質問されると適した種類のものを紹介していただけると思います。