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マンションの駐輪場が狭すぎて駐輪できない、他の自転車とぶつかるなど問題が起こっています。施工会社に損害賠償など何らかの責任を問うことはできますか？

自転車置場については、多くのマンションが抱えている問題ですね。
まず、施工会社の設計ミスについて、住民の方々から直接責任を問うことは困難と思われます。
理由として、不動産の売買契約の場合、契約当事者はあくまでも売主（不動産会社）と買主（住民の方）です。ですからお手元にある契約書にも、契約者の欄に施工会社の社名は記名されていないと思われます。
ですから、まず買主（管理組合）から責任を問うのであれば、売主に行うことが正式な流れです。
余談となりますが、管理組合から売主が設計についての責任を問われ、売主が補修を実施することになった場合、売主の立場としては自身が直接製作したものではないものに対する損害が生じたということになります。ですから、売主と施工会社（または設計事務所）との契約の内容に応じて、施工会社（または設計事務所）は売主から責任を問われることは考えられます。
よって、今回のケースから考えますと、

１．管理組合総会で住民の方の意見・要求をまとめる
２．管理会社へ伝達する
３．管理会社から売主へ連絡
４．売主からの回答を確認する
という流れになります。
但し、管理会社の対応等が悪い場合、売主に直接連絡するという方法をとられても良いと思われます。