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中古マンション（または中古の一戸建て）を紹介してくれた仲介会社に「人気物件なので今週末に契約してもらわないと困ります」と言われました。今週末に契約しないといけないのでしょうか。

必ずしも早く契約しないといけないわけではありません。
業界の慣習では、紹介（物件案内）から契約まで一週間程度の期間を想定しているということはあります。
ただし、あくまでも慣習であり、不動産業者の都合によるものも多分にありますので、契約後に後悔することのないよう、ご自身でしっかり検討したうえで契約することが望ましいでしょう。
もちろん、仲介の方がおっしゃるように、人気物件で他の購入者がすぐに購入意思を示して先に買われてしまうということもありえます。でも、不動産は大きな買い物です。ご自身の考えがまとまっていないうちに、他の方に買われたくないというだけで決断してしまうのが良いこととは思えませんので、その時は「この物件には縁がなかった」と思うことも必要かもしれません。